Différentielle - Différentiabilité
Définition
START
Théorème
Définition d'une fonction différentiable - définition d'une différentielle
Hypothèses:
- soient \(E,F\) deux \({\Bbb R}\)-espaces vectoriels normés
- soit \(U\) un ouvert de \(E\)
- soit \(f:U\to F\)
- soit \(a\in U\)
- il existe une application linéaire continue \(df(a)\in L_C(E,F)\) telle que $$f(a+h)-f(a)-df(a)(h)=o(\lVert h\rVert_E)$$
(\(df(a)(h)\underset{h\to0}\sim f(a)-f(a+h)\))
Résultats:
- on dit que \(f\) est différentiable en \(a\)
- on appelle \(df(a)\) sa différentielle en \(a\)
Equivalence?:
Résumé: La différentielle est la partie linéaire en \(h\) de \(f(a+h)-f(a)\), qui n'est pas un petitot de \(h\).
END
Définition :
\(f\) est différentiable sur \(U\) ouvert si et seulement si elle est différentiable en tout point de \(U\)
Fonction ayant une composante
Soit \(f:{\Bbb R}^n\to{\Bbb R},x_0\in{\Bbb R}^n\)
\(f\) est différentiable en \(0\) s'il existe une application linéaire \(l:{\Bbb R}^n\to{\Bbb R}\) telle que : $$\lim_{\lVert h\rVert\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-l(h)}{h}=0$$
I.e. Si \(f\) admet un DL à l'ordre \(1\) en \(x_0\)
On note \(df(x_0)\) cette fonction \(l\)
(
Développement limité,
Fonction linéaire - Application linéaire - Transformation linéaire - Linéarité)
On appelle différentielle de \(f\) au point \(M_0\in\Omega\subset\Bbb R^m\), et on note \(df_{M_0}\), l'application qui au vecteur \(\overrightarrow{\Delta M}\) (\(\overrightarrow{\Delta M}=h\vec i+k\vec j\in\Bbb R^2\) ou \(\overrightarrow{\Delta M}=h\vec i+k\vec j+l\vec k\in\Bbb R^3\)), associe la partie linéaire du développement limité de \(f\) à l'ordre \(1\) en \(M_0\) : $$df_{M_0}:\begin{align}\Bbb R^m&\to\Bbb R\\ df_{M_0}(\overrightarrow{\Delta M})&={{\overrightarrow{\operatorname{grad}(f)}_{M_0}\cdot\overrightarrow{\Delta M} }}\end{align}$$
La fonction \(f\) se dit alors différentiable en \(M_0\)
(
Développement limité)
Fonction ayant plusieurs composantes
Définition :
Soit $$\begin{align} F&:{\Bbb R}^n\longrightarrow{\Bbb R}^p\\ F&=(f_1,\ldots,f_p)\end{align}$$
La différentielle de \(F\) est $${{dF(x)}}={{(df_1(x),\ldots,df_p(x))}}$$
Propriétés
Unicité
Proposition :
Si la différentielle de \(f\) existe, alors elle est unique
Cas constant
Différentielle d'une fonction constante :
Cas réel
START
Théorème
Différentielle dans les réels
Soit \(f\) une fonction définie sur \({\Bbb R}\)
Hypothèses:
- soit \(a\in{\Bbb R}\)
- $$df(a)(h)=hf^\prime(a)$$
Résultats:
- \(f\) est dérivable en \(a\)
Equivalence?: y
Résumé: Une fonction réelle est dérivable si et seulement si sa différentielle est \(hf^\prime(a)\).
END
Différentiabilité d'un produit
Différentiabilité d'un produit :
- soient \(f_i:E\to F_i\) pour \(i\in[\![1,n]\!]\)
- soit \(F:=F_1\times\dots\times F_n\)
- \(f_1,\dots,f_n\) sont différentiables en \(a\in E\)
$$\Huge\iff$$
- \(f:=f_1\times\dots\times f_n\) est différentiable en \(a\)
Cas d'une fonction linéaire
Différentielle d'une fonction linéaire :
- \(f\) est une fonction linéaire continue
$$\Huge\iff$$
- \(f\) est différentiable et $$df(u)(h)=f(h)$$
Cas d'une fonction multilinéaire
Différentielle d'une fonction multilinéaire :
- \(f:E_1\times\dots\times E_n\to F\) est multilinéaire et continue
$$\Huge\iff$$
- \(f\) est différentiable et $$df(a)(h)=\sum^n_{i=1}f(a_1,\dots,a_{i-1},h,a_{i+1},\dots,a_n)$$
(
Application multilinéaire)
En fonction de normes
Différentiabilité en fonction de normes :
- soit \(f:C([0,1])\to F\)
- \(f(0)=0\)
$$\Huge\iff$$
- \(f\) est différentiable pour \(\lVert\,\rVert_\infty\) mais pas pour \(\lVert\,\rVert_1\)
Lien avec la continuité
Lien entre différentiabilité et continuité :
- \(f\) est différentiable en \(a\)
$$\Huge\iff$$
- \(f\) est continue en \(a\)
\(\longrightarrow\) démonstration via passage à la limite et définition de la différentielle
Linéarité
Linéarité des différentielles :
- \(f\) et \(g\) sont différentiables en \(a\)
- soit \(\lambda\in{\Bbb R}\)
$$\Huge\iff$$
- $$\begin{align} &d(f+g)(a)=df(a)+dg(a)\\ &\quad\text{ et }\quad\\ & d(\lambda f)(a)=\lambda df(a)\end{align}$$
Règle de la chaîne
Règle de la chaîne (différentielles) :
- \(f\) est différentiable en \(a\)
- \(g\) est différentiable en \(f(a)\)
$$\Huge\iff$$
- \(g\circ f\) est différentiable et \(a\) et $$d(g\circ f)(a)(h)=dg(f(a))(df(a)(h))$$
(
Règle de la chaîne - Dérivée d'une fonction composée)
Règle de la chaîne pour les différentielles : $$d(g\circ f)(a)(h)={{dg(f(a))(df(a)(h))}}$$
Soit \(f:{\Bbb R}^n\to{\Bbb R}\) et \(\gamma:{\Bbb R}\to{\Bbb R}^n\) deux fois différentiables
Alors $${{(f\circ\gamma)^\prime}}={{\langle\nabla f\circ\gamma,\gamma^\prime\rangle}}$$
Soit \(f:{\Bbb R}^n\to{\Bbb R}\) et \(\gamma:{\Bbb R}\to{\Bbb R}^n\) deux fois différentiables
$$\begin{align} {{(f\circ \gamma)''}}&={{\langle(\nabla f\circ\gamma)^\prime,\gamma^\prime\rangle+\langle\nabla f\circ \gamma,\gamma{''}\rangle}}\\ &={{\langle(\operatorname{Hess}f)(\gamma(\cdot))\cdot\gamma^\prime,\gamma^\prime\rangle}}\end{align}$$
Différentielle d'un inverse
Différentielle d'un inverse :
- \(f\) est \(\mathcal C^1\) un difféomorphisme
$$\Huge\iff$$
- \(df(x)\) est inversible \(\forall x\)
- $$df^{-1}(y)=df(f^{-1}(y))^{-1}$$
Ordre supérieur
Différentielle seconde
Formules utiles
Lien avec les dérivées partielles
Si \(f\) est différentiable, alors ses dérivées partielles existent et : $${{df(x_0)(h)}}={{\sum^n_{i=1}h_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)}}$$
Lien différentielle/dérivées partielles : $${{ df(x)(h)=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)h_i }}$$
Si \(f\) est différentiable, alors on a : $${{\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)}}={{df(x_0)(0,\ldots,\underbrace{1}_{i\text{eme élément} },\ldots,0)}}$$
(
Dérivée partielle)
Lien avec les dérivées directionnelles
Si \(f\) est différentiable, alors on a : $${{D_vf(x_0)}}={{df(x_0)(v)}}$$
(
Dérivée directionnelle)
Différentielle d'une fonction linéaire
Si \(f\) est linéaire, alors $$df(x_0)=f$$
(
Fonction linéaire - Application linéaire - Transformation linéaire - Linéarité)
Liens avec les dérivées directionnelles
Théorème :
Soit \(f:\Omega\subset\Bbb R^m\to\Bbb R\)
Si \(f\) est différentiable en \(M_0\in\Omega\), alors toutes les dérivées directionnelles et dérivées partielles de \(f\) existent en \(M_0\)
(
Dérivée directionnelle,
Dérivée partielle)
Matrice
Proposition :
La matrice de l'application linéaire \(dF(x)\) est : $$J_F(x)$$
(
Matrice d'une application linéaire,
Matrice jacobienne - Jacobienne)
Exercices
Notions liées
Différentiation implicite